다면체로 공간 메우기

힐베르트(Hilbert) 18번 문제.

다면체로 n차원의 공간을 메우는 문제는 이미 100년도 전에 제기되었던 문제로 2차원과 3차원에 한에서는 그 이전에도 이미 증명된 바 있는 흥미로운 문제다.

공간을 메울때는 틈이나 겹치는 부분이 없어야 한다는 제약 조건이 있는데, 이 때 공간을 채울 수 있는 도형이 유한가지임을 증명하는 문제다(이미 해결되었으니 문제는 아니다)

[그림1] 2차원 벽지 타일(조금 아쉬운 예의 그림을 구했구나 싶다)

평면(2차원)에서는 17개의 대칭군이 존재한다.(참고, 그림1)

3차원에서는 219개의 대칭군이 존재한다(Fedorov, Schoenflies).(참고, 그림2)

이것이 시사하는 바는 매우 큰 의미를 지니는데 어떤 벽지를 만들때에 있어서 인쇄하는 방법이 정확히 17가지가 있다는 이야기이기 떄문이다.

즉, 어떤 벽지를 만들때에 있어서 17가지 이상의 대칭군을 가지는 벽지를 만들 수는 없다는 이야기이다.

3차원의 이야기는 좀 더 흥미롭다. 이것은 원자의 결정체를 이루도록 분자를 구성하는 방법(atomic arrangement)이 정확히 219가지가 존재한다는 이야기다! 이것은 실험이나 관찰을 통해 얻은 결과가 아니다!

순수한 논증만으로 이 세계의 구성을 알아냈다는 것은 참으로 놀라운 일이 아닐수 없다.

[그림2] 3차원상에서의 구성방법

이를 넘어 4차원 이상에 대해서도 수학자들의 연구는 계속되고 있으며 몇몇 차원에 관해서는 이미 증명되어있다. 어떻게 생긴 구조인지 상상할 수 없어도 문제는 해결 가능하다는 것이 신비로울 따름이다.

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Space_group

[2] "케플러의 추측", 조지 G. 슈피로, p. 207